Oggi voglio mettervi in guardia da un errore che capita fare: non rispettare le precedenze. E in matematica proprio come per strada se non si rispettano le precedenze (e le parentesi) si rischia di fare incidenti.

Prima però serve ricordarvi una piccola proprietà dell’addizione: l’addizione è commutativa. Detto in parole semplice possiamo scambiare di posto due addendi.

5+7=7+5

Dire che vale la proprietà commutativa, vuol dire che possiamo sempre scambiare di posto due addendi, in ogni addizione, con ogni coppia di numeri ci possa venire in mente. I matematici scrivono questo fatto con una formula generale di questo tipo.

a+b = b+a

Ma torniamo a noi e al nostro esempio sulle precedenze nel quale avrà un ruolo importantissimo la proprietà commutativa dell’addizione. Eccolo.

Quanto vale 5+7×2?

Se facessi prima l’addizione, otterrei 5+7×2 = 12×2 = 24 (sbagliato!).

Se faccio prima la moltiplicazione, ottengo 5+7×2 = 5+14 = 19.

24 e 19 sono due numeri diversi, quindi non possono essere entrambi giusti.

Per capirlo mi faccio aiutare dalla proprietà commutativa dell’addizione.
Se scambiassi i primi due numeri, otterrei 5+7×2=7+5×2=7+10=17: un altro risultato ancora diverso dai primi due! (E che, vi anticipo, è sbagliato.)

Oppure posso scambiare il numero che precede il più con l’operazione che lo segue, e allora ottengo 5+7×2=7×2+5=14+5=19. Bingo! Ecco un risultato che ho già trovato.

Ed ecco il modo giusto di trattare le operazioni: devo “tenere assieme” la moltiplicazione 7×2 e considerarla come un unico addendo.

Se vogliamo che l’operazione sia sempre la stessa e che il risultato non cambi, la precedenza deve essere questa: prima la moltiplicazione e poi l’addizione.

E se invece vogliamo fare prima l’addizione?
Nessun problema, abbiamo modo di farlo: in fondo siamo noi a decidere cosa fare prima e cosa fare dopo.
È sufficiente che indichiamo la precedenza con una coppia di parentesi.

(5+7)×2

Scritta in questo modo, l’espressione mi dice che devo prima sommare 5 e 7 e dopo moltiplico la loro somma, 12, per 2. E ottengo 24. Tutta un’altra cosa che 5+7×2!

In matematica, ma non solo in matematica, ci sono azioni che posso scambiare tra loro senza danni: “dividere per 2” e “moltiplicare per 4” sono due azioni che posso scambiare. Provare per credere:

• 14 diviso 2 fa 7 che moltiplicato per 4 dà 28.
• 14 moltiplicato per 4 fa 56 che diviso 2 dà 28.

“Dividere per 2” e “moltiplicare per 4” sono due azioni commutative.

Poi ci sono altre azioni che non si possono scambiare tra loro come appunto “aggiungere 7” e “moltiplicare per 2”: abbiamo visto che a seconda di come faccio i calcoli cambia il risultato.

È per questo che studiamo le proprietà delle operazioni.

Le proprietà non sono regole che devono essere seguite, non ci danno degli ordini. Sono invece delle regolarità che i matematici hanno notato (e dimostrato), e che ci indicano alcune libertà che noi possiamo prenderci nel calcolo.
Quando non possiamo prendercele, dobbiamo… dare la precedenza a chi vogliamo sia calcolato prima.

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