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Fondamenti di matematica: l’importanza della logica

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Fondamenti di matematica: l’importanza della logica
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L'appello di Daniele Gouthier rivolto agli insegnanti affinché aiutino i ragazzi a comprendere l’intreccio indissolubile tra logica, matematica e pensiero razionale.

Non so se ci avete mai pensato, ma un cittadino europeo passa circa dieci anni a contatto con la matematica. Tre quattro ore settimanali. Un bel mucchio di ore, nel complesso. A questo punto, la domanda logica che tutti - maestri e professori - dovremmo farci è:

«Perché? Perché i nostri bambini e ragazzi devono fare tutta quella matematica? Perché, io insegnante, devo educarli a tutta quella matematica?».

Se non cerchiamo il senso della matematica, la insegniamo e la impariamo peggio. O, peggio ancora, non la insegniamo e non la impariamo affatto.

LE BASI DEL PENSIERO

Un senso che io personalmente vedo nella matematica è l’educazione all’astrazione e al pensiero razionale. Il pensiero razionale è quel pensiero che sa trarre conseguenze da premesse, deducendo tutto quello che si può dedurre e nulla più.

Proponete ai vostri studenti questi quattro esempi, facendoli lavorare in piccoli gruppi per una ventina di minuti.

  1. Tutti gli uomini sono mortali.
    Tutti gli europei sono uomini.
    Quindi tutti gli europei sono mortali.
  2. Tutti i rombi hanno lati paralleli.
    Tutti i quadrati hanno i rombi.
    Quindi tutti i quadrati hanno lati paralleli.
  3. Tutti i multipli di 4 sono pari.
    Tutti i multipli di 20 sono multipli di 4.
    Quindi tutti i multipli di 20 sono pari.
  4. Tutti i claffi sono pirzi
    Tutti i pirzi sono koos
    Quindi tutti i claffi sono koos

A questo punto chiedete loro se sono tutti e quattro veri. Se la terza riga di ciascuno aggiunge qualcosa o se avrebbero potuto scriverla loro a partire dalle prime due righe. Ma soprattutto chiedete loro che cosa i quattro esempi hanno in comune. Lasciateli discutere, sperimentare, confutare.

Non importa che dicano delle cose «giuste» l’importante è che ragionino attorno a questi quattro esempi.

Soffermiamoci un attimo sul quarto, quello dei claffi, dei pirzi e dei koos. Cosa dice? Boh! Io personalmente non ne capisco il significato. Capisco però come lo dice. Ne colgo la struttura, la logica. La logica è l’insieme delle relazioni che «caratterizzano la struttura del pensiero in sé», al di là di quello che il pensiero significa o meno.

Vediamo cos’è la logica con un problema adatto anche per i bambini.

Queste carte sono colorate da un lato e hanno una vocale dall’altro.
Carlo dice «Se una carta è rossa, allora ha una ‘A’ dall’altro».
Per verificare se Carlo dice il vero quali carte dobbiamo girare? (Vogliamo girarne il meno possibile).

esempio-logica

Anche qui ha molto senso che lasciate sviluppare per una decina di minuti la discussione tra tutta la classe o, se le condizioni ve lo consentono, in piccoli gruppi.

La risposta corretta è che vanno girate tre carte: la rossa, la «E» e la «O».

La rossa perché dobbiamo verificare l’implicazione diretta «Se il retro è rosso, il fronte ha una A». Le altre due perché dobbiamo verificare l’implicazione inversa «Se il fronte non ha una A, il retro non è rosso». Sono le risposte a queste due domande che, assieme, ci dicono se Carlo dice il vero o meno.

I meccanismi logici che abbiamo visto sono di due tipi diversi:

  • Tutti i B sono A. Tutti i C sono B. Quindi tutti i C sono A.

sillogismo di logica

  • Se C è B, allora ciò che non è B non è C.

logica

Il primo si chiama «sillogismo», il secondo «implicazione inversa» e sono i due meccanismi logici alla base delle nostre deduzioni, delle dimostrazioni dei matematici e del pensiero razionale.

Vale la pena investirci un po’ di tempo perché bambini e ragazzi prendano confidenza con essi.

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