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Matematica: il calcolo delle probabilità

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Matematica: il calcolo delle probabilità
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La matematica non è solo la scienza delle certezze ma consente di valutare le probabilità che un fatto si realizzi

Di solito si pensa che la matematica serva a fare le cose nel modo più preciso possibile, ed è considerata per questo la disciplina “esatta” per eccellenza. In realtà, la matematica non sarebbe molto utile se si riducesse a essere solo un meccanismo che ci permette di introdurre da una parte alcuni problemi, magari formulati in modo particolare, per ottenere dall’altra i numeri che ci vengono richiesti.

Ho due pere, la mamma me ne dà altre due, quante pere ho in tutto? Molto spesso i problemi che affrontiamo sono privi di alcune informazioni che ci servirebbero, e a volte non è nemmeno chiaro quali fattori siano da considerare e quali no per prendere decisioni fondate. Ho due pere, la mamma lancia un dado e mi dà tante pere quanti sono i punti fatti dal dado. Quante pere ho in tutto?

IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Fortunatamente la matematica è molto di più di una scienza delle situazioni ben definite. Anzi, negli ultimi 350 anni, ossia da quando Pascal e Fermat si scrivevano a proposito di problemi sui giochi d’azzardo, è diventata uno strumento mentale che ci permette di affrontare nel migliore dei modi proprio le situazioni di incertezza, organizzando il nostro pensiero e aiutandoci a focalizzarlo sugli aspetti che contano veramente.

Infatti dobbiamo tenere conto del fatto che, anche se nella stragrande maggioranza delle situazioni non conosciamo tutte le informazioni in un problema, è anche vero che qualche cosa sappiamo, e la matematica ci permette di sfruttare al massimo i dati in nostro possesso grazie a quell’insieme di tecniche e di modi di pensare, a volte non proprio intuitivi, che prendono il nome di calcolo delle probabilità.

IL GRADO DI FIDUCIA

Certo, già da piccoli i bambini capiscono che ci sono eventi più o meno probabili. È poco probabile che in Italia nevichi a luglio, ma è molto probabile che in classe ci sia almeno un bambino con gli occhi scuri o che qualcuno festeggi il suo compleanno in ottobre. Per poter però dare un senso matematico, ossia quantitativo e in un certo qual modo predittivo, a queste affermazioni, è necessario formalizzare almeno un po’ l’idea di probabilità.

Senza entrare in eccessivi dettagli matematici, possiamo immaginare di definire un insieme di eventi – i possibili colori degli occhi dei bambini di una classe, le date dei loro compleanni, tutti i risultati in un lancio di due dadi a sei facce – e poi assegnare una probabilità, ossia un numero reale compreso tra 0 e 1, a tutti i sottoinsiemi di questo insieme degli eventi. I valori estremi sono inclusi, nel senso che 1 è la probabilità di un evento certo, mentre 0 è la probabilità di un evento “praticamente” impossibile.

Se tiro un dado a sei facce, ho probabilità 0 di ottenere sette, ma ho probabilità 1 di ottenere un numero minore di dieci. In questo senso possiamo pensare alla probabilità come al grado di fiducia che noi assegniamo al verificarsi di un fatto. A volte, come nel caso dei tiri di dadi o dei lanci di una moneta, la probabilità elementare è uguale per tutte le istanze: ogni faccia del dado o della moneta ha la stessa probabilità di uscire. Ma nella maggioranza dei casi alcuni eventi saranno più probabili di altri e il confronto con la realtà ci aiuterà a capire quale sia il giusto grado di fiducia che possiamo assegnare al verificarsi di un certo evento.

Se lancio una moneta e ottengono sempre testa, forse dopo un po’ posso cominciare a dubitare che l’altra faccia abbia la stessa probabilità di uscire.

RAGIONIAMO

Prendiamo ora due monete uguali, con le due facce contrassegnate da una testa T e da una croce C, e supponiamo che in un lancio la probabilità di fare T o C valga un mezzo per ciascuna delle due facce. Vogliamo sapere quante probabilità ho, dopo due lanci, di avere una T e una C, oppure di avere due T o due C.

Oppure, dati due dadi a sei facce, numerate ognuna da 1 a 6, con ognuna delle facce con la stessa probabilità di uscire dopo un lancio, qual è la probabilità che lanciandoli entrambi si ottenga un totale di 7 o un totale di 4? E in che cosa è diverso questo problema da quello di estrarre a caso un numero da 2 a 12?

Questo tipo di problemi è tipico della scuola secondaria di primo grado, ma anche negli ultimi anni della scuola primaria è possibile presentarli e discuterli. Un bambino può provare a giocarci, fare esperimenti, poi anche a organizzare e formalizzare i propri ragionamenti.

Un punto di vista interessante è quello di vedere come, con il procedere dei lanci, anche se il risultato del lancio in sé rimarrà sempre imprevedibile, avremo informazioni che prima non avevamo. Tornando alle due monete, supponiamo di aver lanciato la prima e aver ottenuto T, com’è cambiata la probabilità di ottenere l’evento “una T e una C”? Sicuramente non potremo avere due C, ma che probabilità avremo di avere due T? Insomma, come vengono modificate le nostre aspettative al verificarsi di nuovi eventi?

ORGANIZZIAMO LE INFORMAZIONI

Forse il succo del pensiero probabilistico è proprio qui: nel sapere organizzare le nostre informazioni, tenere conto di quelle che non si hanno ancora, ed esplorare, come se fossero esperimenti mentali, le conseguenze di alcune convinzioni.

Ottenere testa per dieci lanci consecutivi di una moneta non truccata è un evento abbastanza improbabile, capita circa una volta su mille. Ma se lancio questa moneta per nove volte, ottenendo nove volte testa, questa è una nuova informazione che acquisisco. Quale sarà allora la probabilità di ottenere ancora testa nel decimo lancio?

Riuscire a capire la differenza tra questi due problemi è una delle sfide più importanti nell’apprendimento del controllo dell’incertezza. Ed è la differenza tra il credere nei numeri ritardatari e avere le basi per capire i più evoluti algoritmi moderni di intelligenza artificiale.

 

Testo a cura di Roberto Natalini, direttore dell’Istituto per le applicazioni del calcolo “M. Picone” del Cnr, della rivista “Archimede”, coordinatore del sito MaddMaths e co-autore di “Didattica della matematica”, edito da Mondadori Education.

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