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La matematica dello shopping: sconti, aumenti e percentuali

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La matematica dello shopping: sconti, aumenti e percentuali
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Non è tutto oro quello che luccica. Ecco qualche dritta - buona per studenti e insegnanti - per svelare gli inganni che possono celarsi dietro ad alcune percentuali...

Le percentuali, una volta che le abbiamo spiegate, sembrano sempre chiare, ma ci sono alcuni aspetti scivolosi che rischiano di creare delle convinzioni errate nei bambini. Voglio introdurre alcuni aspetti sdrucciolevoli con una situazione/problema.

Immaginate di aver spiegato le percentuali ai vostri studenti. E quando siete certi che le sappiano sufficientemente bene, proponete loro questo quesito:

Carlo va a compare un paio di scarpe che costano 80 euro. Il commesso, per errore, digita un prezzo aumentato del 20%. Per fortuna, se ne accorge e per rimediare fa a Carlo uno sconto del 20%. In questo modo, Carlo paga il giusto?

Provate a farlo veramente. Che cosa succederà? Che d’impulso tutti vi diranno che Carlo paga il giusto.
Ora provate a far fare i conti, passo passo.

  1. Il commesso si sbaglia e aumenta il prezzo del 20%. Il 20% di 80 euro è 16 euro.
  2. Il prezzo aumentato è di 96 euro.
  3. Il commesso se ne accorge e calcola lo sconto del 20%.
  4. 20% di 96 euro è 19,2 euro.

Dove sono finiti i 3,2 euro? Perché i conti non tornano? Il punto è che il commesso calcola due volte il 20% e che noi tendiamo a ragionare facendo corrispondere a un aumento il +20% e a uno sconto il –20%. I due segni (e la parola aumento) ci portano a pensare nei termini di addizione e sottrazione. E allora +20% seguito da un –20% fa zero e ci aspettiamo di tornare al punto di partenza. Evidentemente non è così.

Perché no? Il primo 20% calcolato dal commesso è su 80. Il secondo 20% è riferito al numero 96. Le due quantità sono diverse, i risultati non possono che essere diversi.

RAGIONARE CON LE MOLTIPLICAZIONI

Come possiamo evitare di scivolare su errori come questo? Ragionando non in maniera additiva ma pensando alle percentuali in modo moltiplicativo.

Quando il commesso si è sbagliato, il prezzo aumentato è 80×(1+20%). Per ora scriviamolo così, non calcoliamolo ancora. Ci sarà tempo per farlo dopo.

Quando, successivamente, il commesso si è corretto, diminuisce il prezzo aumentato e arriva al prezzo finale 80×(1+20%)×(1–20%).

Questo conto sembra... brutto. Non svolgiamolo ancora. Facciamo invece un passo indietro.

Che cos’è una percentuale? È un modo di scrivere alcune frazioni, ed esattamente le frazioni con denominatore 100. Così possiamo dire che le tre scritture che trovate qui sotto sono tre traduzioni dello stesso numero.

PERCENTUALI DIVERSE

Nel nostro caso la prima è esattamente la definizione di percentuale. La seconda è la riduzione della frazione ai minimi termini. La terza è la divisione decimale espressa dalla frazione ridotta.

Spesso non lo sottolineiamo abbastanza, ma il cuore delle frazioni è che quei quattro numeri sono lo stesso numero scritto con espressioni diverse.

Ora siamo pronti per tornare al prezzo finale: 80×(1+20%)×(1–20%) che altro non è se non 80×(1+0,2)×(1–0,2) ovvero 80×1,2×0,8 cioè 80×0,96 che è più piccolo di 80.

Quando lavoriamo con le percentuali, dobbiamo sempre sottolineare che rappresentano un rapporto; che indicano una parte di un qualche intero. Ovviamente se cambia l’intero, cambia anche il valore della parte percentuale.

Ed è quello che capita all’incauto (o generoso?) commesso.

Un problema ben più complicato è il seguente: dopo che il commesso ha erroneamente alzato il prezzo del 20%, di che percentuale deve abbassarlo per tornare al prezzo di partenza? Per trovare questa percentuale immaginiamo di avere il prezzo aumentato, 80×1,2=96.

La domanda diventa: per quale numero devo moltiplicarlo per ottenere di nuovo 80? Dobbiamo fare 96×?=80
Si tratta di una domanda da “ufficio complicazione affari semplici”.

Infatti, la risposta si ottiene con l’operazione inversa della moltiplicazione: la divisione. Per avere il numero che moltiplicato per 96 dà 80, basta dividere 80 per 96. E ottenere 0,833.

Allora lo sconto è 1-0,833=0,167. Ovvero il 16,7%. Provare per credere.

C’è un altro modo per arrivare allo stesso risultato (è sempre importante mostrare ai bambini vie diverse che portano alla stessa meta: la matematica non è un labirinto di sensi unici con un’unica uscita; è una foresta di possibilità dove dobbiamo imparare a segnare i nostri sentieri).

Fermiamoci dopo il primo passo, quando il commesso ha calcolato l’aumento (16 euro) e il prezzo erroneamente accresciuto (96 euro). Di quanto deve abbassare il prezzo per tornare a 80 euro? La risposta è: di 16 euro. Quindi lo sconto deve essere il 16,7%.

In questo secondo modo, ci accorgiamo anche del fatto che le due percentuali devono essere diverse. Frazioni diverse sono percentuali diverse.

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