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Geometria: Quadrilateri, forme e formule (teoria)

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Geometria: Quadrilateri, forme e formule (teoria)
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Insegniamo i quadrilateri attraverso una serie di domande che stimolino il ragionamento e l'apprendimento attivo da parte degli studenti

  • I quadrilateri
  • Forma
  • Perimetro
  • Area

I QUADRILATERI

Prendiamo un segmento, a partire da uno dei suoi estremi disegniamone un secondo. A partire dall’estremo libero di questo disegniamone un terzo. Quindi, congiungiamo (sempre con un segmento) i due estremi liberi del terzo e del primo. Abbiamo un quadrilatero: i segmenti si chiamano lati, gli estremi vertici e gli angoli individuati da due lati consecutivi si chiamano... angoli.

La prima attività da proporre in classe è questa. Possiamo disegnare due tipi di quadrilateri: semplici, cioè quelli nei quali nessuna coppia di lati ha altri punti in comune se non gli estremi, e intrecciati, cioè quelli nei quali c’è una coppia di lati con un punto in comune che non è un estremo. Dunque disegniamo un quadrilatero semplice e uno intrecciato.

Quando abbiamo un quadrilatero ci poniamo tre domande:

1) Che forma ha?
2) Quanto misura il suo bordo?
3) Quanto spazio occupa?

FORMA

“Che forma ha?” – ci porta a classificare i quadrilateri in base alla congruenza: sono congruenti due quadrilateri che riusciamo a sovrapporre esattamente spostandoli. Sono spostamenti geometrici le traslazioni, le rotazioni,
le simmetrie e i ribaltamenti.

Se due quadrilateri sono congruenti, allora troviamo coppie di lati (il primo di un quadrilatero, il secondo dell’altro) che sono congruenti. E lo stesso per gli angoli. Più in generale tutti gli elementi “corrispondenti” sono congruenti: ad esempio, sono due a due congruenti le diagonali.

Attività: possiamo provare a classificare i quadrilateri in base ai lati. Ci sono quadrilateri che hanno:

  • tutti i lati diversi tra loro;
  • due lati uguali e due diversi;
  • due coppie di lati uguali;
  • tre lati uguali e uno diverso;
  • quattro lati uguali.

Lavorando sulle “forme” dei quadrilateri arriviamo a definire i diversi tipi che classicamente conosciamo: quadrati, rettangoli, rombi, deltoidi, parallelogrammi, trapezi (rettangoli, isosceli e scaleni).

Dopo averlo fatto, un esercizio interessante è cercare di collocare i diversi tipi di quadrilateri classici in questa tabella.

quadrilateri: tabella

PERIMETRO

“Quanto misura il bordo?” – ci introduce al concetto di perimetro: il perimetro è la somma delle lunghezze dei lati. Abbiamo, quindi, un metodo semplice per conoscere tutti i perimetri del mondo: misuriamo i lati e sommiamo le misure.

Possiamo ulteriormente semplificare la formula, quando conosciamo alcune relazioni tra i lati.

Ad esempio, in un rombo che ha tutti i lati congruenti (diciamo che misurino l), la formula del perimetro è semplicemente p=4l. Una formula così elementare nasconde comunque ricchezza. Ci permette, ad esempio, di affrontare la domanda “Quanto misura il lato di un rombo che ha perimetro di 28 metri?”.  Domande come queste sono piccoli esempi di pre-algebra, perché spingono a imparare la manipolazione delle formule, trovando in questo caso che l=p:4.

Attenzione! Non ha senso insegnare le “formule inverse”. In matematica è molto più importante imparare a leggere le formule in tutti i modi possibili: p=4l l=p:4 4=p:l 4l=p; sono quattro scritture equivalenti della stessa relazione tra lato e perimetro di un rombo.

Attività: lavorando con il perimetro del rettangolo di lati a e b (p=2(a+b)), potete far lavorare gli studenti sulla domanda: “Siamo capaci di trovare rettangoli diversi che hanno lo stesso perimetro?”. Se non siamo capaci, dove sta la difficoltà? Se invece lo siamo, come facciamo a ottenere rettangoli diversi che hanno lo stesso perimetro?

Discussione: proviamo a discutere insieme sulla domanda “Se prendiamo quattro segmenti, siamo sempre capaci di costruire un quadrilatero che ha quei segmenti come lati?”. Per sbloccare la discussione, può servire chiederci che quadrilatero disegniamo con quattro segmenti lunghi 20, 5, 4 e 3 centimetri.

AREA

“Quanto spazio occupa?” – può essere affrontata prima di tutto per mezzo di scomposizioni. Se voglio trovare l’area di una figura, niente è meglio che dividerla in parti ciascuna delle quali ha un’area che conosco facilmente. Abituiamoci a lavorare con la scomposizione perché questo educa a ridurre un problema complicato a uno più semplice.

Come per i perimetri, anche i quadrilateri classici permettono di scrivere formule per l’area nei termini (i matematici direbbero “in funzione”) dei lati e di altri segmenti notevoli.

Di nuovo, senza scrivere nemmeno qui le formule inverse, poniamo domande che aiutino a ragionare sulle formule: quanto misurano i lati di un rettangolo che ha area di 18 cm² e un lato che ne misura 9? Leggere le formule delle aree in tanti modi diversi significa iniziare a fare, spontaneamente e senza esplicitazioni, un po’ di calcolo letterale.

NB: in questo pezzo abbiamo parlato di di quadrilateri, ma molte considerazioni possono essere facilmente applicate ad altri poligoni. La scelta di limitarci ai quadrilateri, oltre che per ragioni di spazio e omogeneità, è dovuta al fatto che queste figure piane ben si prestano anche a livelli elementari per presentare una pluralità di situazioni e concetti.

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