La matematica non si impara a memoria! Vero. Questo però non vuol dire che la memoria non sia importante per fare matematica. La memoria serve. Non dobbiamo affidarci del tutto a lei, ma nemmeno il contrario. Se ogni volta ricominciamo da capo e non ci ricordiamo quello che abbiamo calcolato altre volte in passato, be’... rischiamo di fare una fatica immane che ci fa passare la voglia di fare matematica. Da qui l'importanza dei calcoli a mente.

Calcoli a mente: questione di allenamento

Ogni concetto matematico, anche quelli elementari, ha le sue proprietà, le tecniche per essere affrontato,
i trucchi che lo facilitano e i rischi in cui cadere. Io vedo l’apprendimento della matematica così: quando impariamo un concetto nuovo:

• Prima dobbiamo (ri)conoscerne le proprietà e fare nostre le tecniche
• Poi dobbiamo acquisirne i trucchi e saper evitare i rischi
• Infine dobbiamo saper agire con fluidità (e anche un po’ “a memoria”) per poter passare al concetto successivo.

Muoviamo un primo passo: il calcolo con addizioni, moltiplicazioni e sottrazioni. Per diventare agili con il calcolo bisogna saper alternare due pratiche diverse: fare i conti su carta, per scritto; e fare i conti a mente.

Calcoli a mente con il cronometro

Vi propongo un gioco di conti a mente, che si può fare a ogni livello e che aiuta a prendere confidenza con molte tecniche di calcolo.

Supponiamo che abbiate introdotto le moltiplicazioni e che i vostri studenti si siano già un po’ impratichiti con il loro calcolo. Ora, chiedete loro di alzarsi in piedi e chiedete a uno per volta una moltiplicazione (7×13, 14×3 e così via). Chi dà il risultato giusto si siede. Chi sbaglia sta in piedi. Fino a che tutti non sono seduti.

In questo modo chi sbaglia di più si allena di più. Però così facendo il gioco è punitivo per chi ha difficoltà. Per evitare questo, fate partire voi il cronometro prima di fare la prima domanda e fermatelo quando l’ultimo studente ha dato l’ultima risposta giusta. Avrete un tempo che non è di nessuno studente ma è di tutta la classe. Il giorno dopo ripetete la stessa attività, chiedendo loro di migliorare il tempo precedente. E così il terzo, il quarto e il quinto giorno.

Presto diventerà obiettivo di tutta la classe migliorare il record e arrivare a una maggiore fluidità nel calcolo: per migliorare, serve il contributo di tutti, non solo dei più bravi né solo di quelli che sono più in difficoltà. Avrete raggiunto due risultati: far fare un po’ di moltiplicazioni a mente; e far capire che la matematica è una disciplina cooperativa.

Questa stessa attività “con il cronometro” si può fare con tante operazioni diverse: addizioni, moltiplicazioni, sottrazioni, espressioni, potenze, radici. Con una o molte cifre. Con numeri naturali, interi o frazioni. Ogni classe e ogni fase possono trarne giovamento. Il punto è esattamente creare un’occasione per diventare un po’ più fluidi con una tecnica di calcolo.

C’è poi un altro piano che va toccato: quello delle “piccole scoperte”. È importante offrire agli studenti calcoli che portano a capire le proprietà dei numeri. Facciamo qualche esempio.

Somma di due numeri consecutivi

Chiedete a ciascuno di scrivere un numero (di due cifre) sul quaderno. E poi di scrivere in colonna il numero successivo, quello che lo segue. Adesso chiedete loro di sommarli.

Fatelo alcune volte. Poi chiedete loro che cosa hanno notato.

Se non hanno notato nulla, chiedete se il risultato può essere un numero pari. E perché? (Non accontentatevi mai della risposta. Chiedete sempre il perché: è così che si inizia a “fare matematica”).

Somma di tre numeri consecutivi

Fate lo stesso esercizio ma facendo mettere in colonna tre numeri consecutivi a piacere. Che cosa notano sulla somma? Come mai è sempre il triplo del numero che sta nel mezzo?

Prodotto di tre numeri consecutivi

E cosa succede se moltiplichiamo tra loro tre numeri consecutivi (ad esempio 7, 8 e 9)? Che cosa possiamo osservare del risultato?

Prodotto di un numero per sé stesso

Facciamo calcolare ai nostri alunni il prodotto di un numero per se stesso.

Poi chiediamo di ragionare sull’ultima cifra, quella delle unità. Possiamo ottenere ogni cifra come cifra delle unità? Solo alcune? Quali?

Questi e altri esercizi aiutano a prendere confidenza con il calcolo e con le operazioni. E danno l’opportunità di vedere le proprietà (commutativa, associativa, distributiva, eccetera) in azione.

Applicare le proprietà

Il calcolo a mente è utile anche per valorizzare le proprietà (in particolare quella associativa).

Anche una “banale” addizione quale 47+98 può dare l’occasione per lavorare con la proprietà associativa: 47 è 45+2, ma – guarda caso – 2 è proprio ciò che manca a 98 per diventare 100. Quindi 47+98 è 45+2+98 che a sua volta è 45+100. Ovvero 145.

Per iscritto è evidente. A mente è un piccolo grande passo verso l’astrazione.

Il tratto comune a tutti questi esercizi è non fermarsi alla sola operazione di calcolo. Ma è arricchirla con una discussione successiva. Potete lavorare discutendo con tutta la classe. Oppure facendoli discutere tra loro a coppie o in piccoli gruppi.

In tutti i casi, cercate di astenervi dal dire la vostra e di usare la vostra attenzione per “registrare” quello che dicono, i ragionamenti che sono sottesi alle loro parole. Solo quando la discussione scemerà o, in caso positivo, sarà arrivata a un’osservazione condivisa, potrete tornare al centro della lezione e tirare le fila del ragionamento che loro hanno fatto.